Math.　Phys.　348:　129-143,　2016]　and　Chen　and　Yu　in　[5,　J.　Math.　Pures　Appl.　131:　1-16,　2019],　we　address　how　the　Lp　control　of　vorticity　could　influence　the　energy　conservation　for　the　incompressible　homogeneous　and　nonhomogeneous　Euler　equations　in　this　paper.　For　the　homogeneous　flow　in　the　periodic　domain　or　whole　space,　we　provide　a　self-contained　proof　for　the　criterion　&　omega;　=　curl　v　&　ISIN;　L3　(0,　T;　L　n+23n　(2))　(n　=　2,　3),　that　generalizes　the　corresponding　result　in　[8]　and　can　be　viewed　as　in　Onsager　critical　spatiotemporal　spaces.　Regarding　the　nonhomogeneous　flow,　it　is　shown　that　the　energy　is　conserved　as　long　as　the　vorticity　lies　in　the　same　space　as　before　and　backward　difference　&　RADIC;&　rho;　belongs　to　L　&　INFIN;(0,　T　;　Ln(Tn))　(n　=　2,　3),　which　gives　an　affirmative　answer　to　a　problem　proposed　by　Chen　and　Yu　in　[5].　&　COPY;　2023　Elsevier　Inc.　All　rights　reserved.