In　this　paper,　we　study　the　initial　boundary　value　problem　and　vanishing　viscosity　limit　for　incompressible　axisymmetric　Navier-Stokes　equations　with　swirls　in　the　exterior　of　a　cylinder　under　Navier-slip　boundary　condition.　In　the　first　part,　we　prove　the　existence　of　a　unique　global　solution　with　the　axisymmetric　initial　data　u　0　nu　is　an　element　of　L　sigma　2　(　omega　)　and　axisymmetric　force　f　is　an　element　of　L　2　(　[　0　,　T　]　;　L　2　(　omega　)　)　.　This　result　improves　the　initial　regularity　condition　on　the　global　well-posedness　result　obtained　by　K　Abe　and　G　Seregin　(2020　Proc.　R.　Soc.　Edinburgh　A　150　1671-98)　and　extends　their　boundary　condition.　In　the　second　part,　we　make　the　first　attempt　to　investigate　the　inviscid　limit　of　unforced　viscous　axisymmetric　flows　with　swirls　and　prove　that　the　viscous　axisymmetric　flows　with　swirls　converge　to　inviscid　axisymmetric　flows　without　swirls　under　the　condition　||　r　u　0　theta　nu　||　L　2　(　omega　)　=　O　(　nu　)　.　Some　new　uniform　estimates,　independent　of　the　viscosity,　are　obtained　here.　The　second　result　can　be　thought　as　a　follow-up　work　to　the　previous　work　by　K　Abe　(2020　J.　Math.　Pures　Appl.　137　1-32),　where　the　inviscid　limit　for　the　same　equations　without　swirls　in　an　infinite　cylinder　was　studied.