In　this　paper,　we　consider　the　following　nonlinear　Schrodinger　equation:　(iu(t)　+　Delta(g)u　+　ia(x)u　-　vertical　bar　u　vertical　bar(p-1)　u　=　0　(x,　t)　is　an　element　of　M　x　(0,　+infinity),　u(x,　0)　=　u(0)(　x)　x　is　an　element　of　M,　(0.1)　where　(M,　g)　is　a　smooth　complete　compact　Riemannian　manifold　of　dimension　n(n　=　2,　3)　without　boundary.　For　the　damping　terms　-a(x)(1　-　Delta)(-1)　a(x)u(t)　and　ia(x)(-Delta)(1/2)　a(x)u,　the　exponential　stability　results　of　system　(0.1)　have　been　proved　by　Dehman　et　al.　(Math　Z　254(4):　729-749,　2006),　Laurent.　(SIAM　J.　Math.　Anal.　42(2):　785-832,　2010)　and　Cavalcanti　et　al.　(Math　Phys　69(4):　100,　2018).　However,　from　the　physical　point　of　view,　it　would　be　more　important　to　consider　the　stability　of　system　(0.　1)　with　the　damping　term　ia(x)u,　which　is　still　an　open　problem.　In　this　paper,　we　obtain　the　exponential　stability　of　system　(0.1)　by　Morawetz　multipliers　in　non　Euclidean　geometries　and　compactness-uniqueness　arguments.