In　this　paper,　we　study　the　prize-collecting　$k$-Steiner　tree　($\mathsf{PC}k\mathsf{ST}$)　problem.　We　are　given　a　graph　$G=(V,　E)$　and　an　integer　$k$.　The　graph　is　connected　and　undirected.　A　vertex　$r\in　V$　called　root　and　a　subset　$R\subseteq　V$　called　terminals　are　also　given.　A　feasible　solution　for　the　$\mathsf{PC}k\mathsf{ST}$　is　a　tree　$F$　rooted　at　$r$　and　connecting　at　least　$k$　vertices　in　$R$.　Excluding　a　vertex　from　the　tree　incurs　a　penalty　cost,　and　including　an　edge　in　the　tree　incurs　an　edge　cost.　We　wish　to　find　a　feasible　solution　with　minimum　total　cost.　The　total　cost　of　a　tree　$F$　is　the　sum　of　the　edge　costs　of　the　edges　in　$F$　and　the　penalty　costs　of　the　vertices　not　in　$F$.　We　present　a　simple　approximation　algorithm　with　the　ratio　of　5.9672　for　the　$\mathsf{PC}k\mathsf{ST}$.　This　algorithm　uses　the　approximation　algorithms　for　the　prize-collecting　Steiner　tree　(PCST)　problem　and　the　$k$-Steiner　tree　($k\mathsf{ST}$)　problem　as　subroutines.　Then　we　propose　a　primal-dual　based　approximation　algorithm　and　improve　the　approximation　ratio　to　5.